SIRALI İKİLİ :
a ve b
elemanlarının belirttiği ( a , b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir.
Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin
değişmesindendir.
Yani : (a , b ) ≠ (b , a ) dir.
Örnek :
A( 1 , 3 ) noktası ile B( 3 , 1 ) noktası
eşit noktalar değildir.
Noktalar
kümesinin elemanları sıralı ikililerdir.
Sıralı ikililerin
bileşenleri birinci bileşen, ikinci bileşen olarak adlandırılır.
Sıralı İkililerin Eşitliği :
Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve
ikinci bileşenler birbirine eşit olmalıdır.
Yani (x , y ) = (a , b ) ise x
= a ve y = b
ÖRNEK :
( x + 3 , y – 1 ) = ( 6 , 4 ) ise x ve y
sayıları kaçtır?
Çözüm :
Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve
ikinci bileşenler birbirine eşit olmalıdır.
Yani x +3 = 6 y – 1 = 4 x = 6 – 3 y = 4 + 1 x = 3 ve y = 5
bulunur.
( x + 3 , y – 1 ) = ( 6 , 4
)
1. ( x + 3 , y + 1 ) = ( 1 , 2 ) ise x = ? ve y = ? 2. ( 2x , y - 5 ) = (
8 , -3 ) ise x = ? ve y = ? 3. ( x/2 , 3y ) = ( 6 , 0 ) ise x = ? ve y = ? 4. ( 2x + 1 , 4 ) = (
7 , y - 2 ) ise x = ? ve y = ?
ÖDEV 1 :
KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A’ dan,
ikinci bileşeni B’ den alınarak oluşturulabilecek tüm sıralı ikililerin
kümesine, A ile B’ nin kartezyen çarpımı denir ve A x B biçiminde
gösterilir. Buna göre;
şeklinde gösterilir.
ÖRNEK : Aynı futbol takımında oynayan Ali, Sertaç ve Tamer,
7, 10 ve 11 numaralı formaları giyebilirler. Bu oyuncuların seçebilecekleri
formaları gösteren sıralı ikilileri yazalım.
ÇÖZÜM : A kümesi A = { Ali , Sertaç , Tamer }
B kümesi B = { 7 , 10 , 11 }
A X B = { (Ali, 7 ), (Ali, 10), (Ali, 11 ), (Sertaç,7 ),
(Sertaç,10 ), (Sertaç,11 ), (Tamer, 7 ), (Tamer, 10 ), (Tamer, 11 ) }
ÖRNEK : A = {1,2 } , B = {3,a} olduğuna göre A x B ve BxA
kümelerini yazınız.
ÇÖZÜM :
AxB = {(1,3), (1,a), (2 ,3), (2 ,a) }
BxA = {(3 ,1), (3,2 ), (a ,1), (a , 2)}
ÖRNEK : A = { -1, 1, 2 } , B = { 0, 1 } olduğuna göre
A x B kümesini analitik düzlemde
gösteriniz.
ÇÖZÜM :
A X B = { (-1 , 0 ), (-1 , 1), (1 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 0 ), (2 , 1 )}
ÖRNEK : A X B = { (-1 , 0 ), (-1 , 1), (1 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 0 ), (2
, 1 )} kartezyen çarpımını oluşturan A ve B kümelerini yazalım.
ÇÖZÜM : Birinci bileşenler A kümesini, ikinci bileşenler
B kümesini oluşturur. Tekrar eden eleman küme içine bir kez yazılır.
A
kümesi A = { -1,
1 , 2 }
B
kümesi B = { 0,
1 }
ÖRNEK : A X B = { ( 0 , 0 ), ( 0 , 1), ( 0 , 2 ), ( -3 , 0 ), ( -3 , a
), (-3 , 2 )} kartezyen çarpımında a ile gösterilen sayı kaçtır?
ÇÖZÜM : 0 ile başlayan sıralı ikililerin ikinci
bileşenleri 0, 1, 2 dir. –3 ile başlayan sıralı ikililerin ikinci bileşenleri
de 0, 1, 2 olmalıdır. Bu nedenle a elemanı 1 olmalıdır.
1.
A = { 0, 1, 2 ) ve B = { -2, 2 } ise AXB = ? 2.
A = { -2, 0, 3 ) ve B = { -1, 0, 1 } ise AXB = ? 3.
A = { 2, 3, 4, 5 ) ve B = {6 } ise AXB = ? 4.
A = { -1, 1, 2 ) ve B = { -3, 2, 5 } ise AXB çarpımını analitik düzlemde
gösteriniz. 5. A X B = { (A, 2 ), (A, 5), ( B, 2 ), ( B, 5 ), ( C, 2
), ( C, 5 ) } ise A ve B kümelerini yazınız. 6.
A X B = { ( 2 , 2
), ( 2 , 5), ( 2 , 8 ), ( 3 , 2 ), ( 3 , 5 ), ( 3 , 8 ), ( a , 2 ), (
4 ,5 ),( 4 , 8 ) } kartezyen çarpımında a ile gösterilen sayı kaçtır? 7. A X B = { (-3, -2 ), (-3, 1), ( 0, -2 ), ( 0, 1
), ( 2, -2 ), ( 2, 1 ) } ise AUB kümesini
yazınız.
ÖDEV 2 :
KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELLİKLERİ
S(A) ; A kümesinin eleman sayısını göstermektedir.
1) s(AxB) = s(BxA) = s(A).s(B)
2) A≠B ise AxB ≠ BxA değişme özelliği
yoktur.
3) (AxB)xC = Ax(BxC) birleşme
özelliği vardır .
4) Ax(BUC) = (AxB)U(AxC)
5) Ax(B ∩C) =
(AxB) ∩ (AxC)
6) AxA = A²
ÖRNEKLER
1.
A
= { 2, 5 } , B= { -1, 1, 3 } ve C = { 0, 4 } ise
(AxB)U(AxC) kümesini bulalım.
ÇÖZÜM : (AxB)U(AxC) = Ax(BUC) olduğundan önce BUC kümesini buluruz.
BUC = { -1, 0, 1, 3, 4 }
Ax(BUC) = { ( 2, -1 ), ( 2, 0 ), ( 2, 1 ), ( 2, 3 ), (
2, 4 ), ( 5, -1 ), ( 5, 0 ), ( 5, 1 ), ( 5, 3 ), ( 5, 4 )}
2.
A, B ve C üç kümedir.
s(BUC) = 4 ve s[Ax(BUC)] = 32
olduğuna göre A dan A ya kaç tane bağıntı yazılabilir?
ÇÖZÜM : s[Ax(BUC)] = S(A). S(BUC) = 32
S(A). 4 = 32
S(A ) =
32:4 = 8
A dan A ya
yazılabilecek bağıntı sayısı 28.8 = 264 tanedir.
BAĞINTI
A ve B herhangi iki
küme olsun. AxB ‘ nin her alt kümesine , A’ dan B’ ye bir bağıntı denir.
ÖRNEK : AxB = {(1,3), (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } kartezyen
çarpımının 4 tane elemanı vardır.
Bu kümenin
alt kümeleri sayısı 24 = 16 ‘dır.
O halde A ‘
dan B ‘ ye 16 tane bağıntı tanımlanabilir.
Örneğin
β1 = {(1,3),
(1,a) } ve β2 = { (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } alt kümeleri A dan B ye birer
bağıntıdır.
SONUÇ :
s(A) = m ve s(B) = n ise A dan B ye tanımlanabilen bağıntı sayısı 2m.n
tanedir.
ÖRNEKLER
1. Doğal sayılar
kümesinde β = {(x,y)| x + y = 2 } bağıntısının sıralı ikililerini
yazalım.
ÇÖZÜM : Bağıntı (x , y
) şeklinde olan ve x ile y nin toplamı 2 olan sıralı ikilileri yazın diyor.
Bunlar: β = {(0,2), (1,1),
(2,0) } olur
2. Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x > y } bağıntısının
sıralı ikililerini yazalım.
ÇÖZÜM : Bağıntı (x , y ) şeklinde ve x in y den büyük olduğu
sıralı ikilileri yazın diyor.
Bu sıralı ikililerin tümünü yazamayız.
Bu nedenle β = {(1,0), (2,0), (3,0),..., (2,1), (3,1),
(4,1),..., } şeklinde bu bağıntının sıralı ikililerini gösterebiliriz.
3. Reel sayılar kümesinde β = { (x,y) | l x l = 3 ve x+2> y > 0 } bağıntısının gösterdiği alan
kaç birim karedir?
ÇÖZÜM : l x l = 3 demek x = ± 3 demektir.
x = 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine
yazarsak x + 2 > y > 0 , yani 5 > y > 0 olur.
x = - 3 ' ü ikinci eşitsizlikte
yerine yazarsak x + 2 > y > 0 ,
yani -1> y > -3 olur.
Bölge bir kenarı 6 birim olan
karedir. Alanı 6x6 = 36 olur.
Bağıntının Grafiği
Reel sayılar kümesinde β = {(x , y)| 1
< x < 2 ve -1 < y ≤ 2 }
bağıntısının grafiğini çizelim.
FONKSİYON
Mercek : Fonksiyonu
üzerine getirildiği şekli daha büyütmek.
Saat : Fonksiyonu zamanı göstermek.
Terazi : Cisimlerin ağırlığını tartmak.
TANIM : f A kümesinden B kümesine bir
bağıntı olsun. f bağıntısında
A nın
istisnasız her elemanı B nin en fazla ve en az bir elemanı ile eşleşiyorsa f bağıntısına fonksiyon denir ve
şeklinde
gösterilir.
A kümesine tanım kümesi,
B kümesine görüntü kümesi denir.
Tanım kümesinin elemanlarına orijinaller,
görüntü kümesinin elemanlarına görüntüler denir.
Bu yeni terimleri kullanarak
fonksiyon olma şartını yeniden yazalım :
A'nın
her orjinalinin B içinde en az ve en fazla bir tane görüntüsü olacaktır.
ÖRNEK : Aşağıdaki bağıntılardan hangileri A= { 1, 2 , 3 } kümesinden
B = { a, b , c , d } ye fonksiyondur?
1.
Β1 = {(1, b), (2,
a) }
2. Β2 = {(3,b), (1,c),
(2,b) }
3. Β3 = {(1,a), (2,a),
(3,a) }
4.
Β4 = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }
ÇÖZÜM :
1.
Β1 = {(1, b), (2,
a) }
A kümesindeki 3' orjinalinin B içinde bir görüntüsü
yoktur.
Β1 fonksiyon değildir.
2. Β2 = { (3, b), (1,c), (2,b) }
A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü
vardır.
Β2 fonksiyondur.
3. Β3 = {(1,a), (2,a), (3,a) }
A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü
vardır.
Β3 fonksiyondur. Görüntüler eşit olabilir.
4. Β4 = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }
A kümesindeki her
orijinalin B içinde yalnız bir tane görüntüsü olacak. Burada 1 orijinali iki
tane farklı görüntüye sahiptir.
Β4 fonksiyon
değildir.
ÖRNEK : Aşağıda
bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir.
1. İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı kendi
mesleği ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her insanın en fazla bir ve en az
bir tane mesleği olmalıdır. Oysa gerçekte bazı insanların iki mesleği olduğu
gibi bazı insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı
fonksiyon değildir.
2. Hayvanlar
kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı kendi yuvasıyla
eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her hayvanın en fazla ve en az bir
tane yuvası olmalıdır. Oysa gerçekte bazı hayvanların yuvalarının olmadığını
biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.
3. Çocuklar kümesinden
babalar kümesine tanımlanan ve her çocuğu babasıyla eşleştiren bağıntı
fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her çocuğun en fazla ve en az bir
tane babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun mutlaka bir babası mevcuttur ve bir
çocuğun iki babasının olması biyolojik olarak mümkün değildir. Bu bağıntı fonksiyondur.
UNUTMA : Birkaç çocuğun aynı babaya sahip olması
fonksiyon olmayı bozmaz.
4. Bir fabrikadaki
işçilerle aldıkları ücretleri eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntı da fonksiyondur. Çünkü bedavaya çalışan
olmayacağı için her işçinin bir ücreti mutlaka vardır. Hiçbir patron bir işçiye iki ücret vermeyeceğine göre
her işçinin en fazla bir tane ücreti vardır. O halde bu bağıntı fonksiyondur.
Fonksiyonlar
genellikle yapılan eşlemeyi ifade eden kurallarla verilir.
ÖRNEK : f : A =
{1, 2, 3 } B
f(x) = 2x + 3
fonksiyonunun sıralı ikililerini
yazalım:
Burada tanım kümesinin
elemanları ( orijinaller ) verilmiş fakat görüntüler verilmemiştir.
Fonksiyonun
kuralında x yerine orijinalleri yerleştirerek görüntüleri bulacağız.
1 in görüntüsü f(1) = 2.1 + 3 = 5
2 nin görüntüsü f(2) = 2.2 + 3 = 7
3 ün görüntüsü f(3) = 2.3 + 3 = 9
f = { (1,5), (2,7), (1,c) , (3,9) }
şeklinde gösterilir.
ÖRNEK : f = { (-4,3), (0,2), (1,5) , (2,-1), (-3,9), (3,2), (-2,-1) } fonksiyonu
veriliyor. Aşağıdaki soruları çözelim:
1.
Tanım kümesi nedir?
2. Görüntü kümesi nedir?
3. f(2) = ?
4. f(-3) = ?
5. f(5) = ?
ÇÖZÜM :
1. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin elemanlarını
verir.
A = { - 4, -3 , -2 , 0 , 1 , 2 ,
3 }
2. Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri görüntü kümesinin elemanlarını
verir.
B = { -1 , 2 , 3 , 5 , 9 }
3. f(2)
= ? sorusu " 2 ' nin görüntüsü kaç demektir"
2 ' nin görüntüsü sıralı ikilide 2 nin karşısındaki
sayıdır. f(2) = -1
4. f(-3)
= ? sorusu " -3 ' ün görüntüsü kaç demektir"
-3 'ün görüntüsü sıralı ikilide -3 ün karşısındaki
sayıdır. f(-3) = 9
5. f(5)
= ? sorusu " 5 ' in görüntüsü kaç demektir"
5 'in görüntüsü sıralı ikilide 5 in karşısındaki sayıdır.
Sıralı ikililerin hiç birinde 5 birinci bileşen olarak
yer almamıştır. Yani bu fonksiyon 5 için tanımlanmamıştır.
5 in görüntüsü yoktur.
FONKSİYON
ÇEŞİTLERİ
SABİT
FONKSİYON :
f : A B fonksiyonunda bütün orijinaller aynı
görüntüye sahip ise f ye sabit fonksiyon
denir ve her x є A iзin f (x) = b юeklinde gцsterilir.
ÖRNEK :
A = { 2 ,5 ,7 , }
olmak üzere
f : A B
f (x) = 6
fonksiyonu sabit
fonksiyondur.
Çünkü f(2) = f(5) = f
(7) = 6 ‘ dır .
ÖRNEK : Her işçisine aynı ücreti veren bir patronun işçileri ile aldıkları
ücretleri eşleştiren fonksiyon sabit fonksiyondur.
BİRİM
FONKSİYON
f : A B
f(x) = x
f fonksiyonuna birim fonksiyon denir .
Yani her elemanın görüntüsü
kendisine eşittir .
Birim fonksiyon genellikle I (x) ile gösterilir.
ÖRNEK :
Aşağıda A = {
a,b ,c } kümesinde şema ile tanımlanan
I : A A
fonksiyonu birim fonksiyondur
Çünkü : I(x)
= x olur.
I (a) = a , I (b) = b , I (c) = c dir .
ÖRNEK : Bir kameranın fonksiyonu görüntü almaktır. Kamera ile bir
maçı çekersek sonradan seyrettiğimizde kameranın her cismi kendi görüntüsü ile
eşleştirdiğini görürüz. Yani hiçbir zaman Ahmet in görüntüsü Mehmet olmaz. Kamera
her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirir. Kameranın fonksiyonu sabit fonksiyondur.
İÇİNE FONKSİYON
f : A B fonksiyonunda orijinallere ait
görüntüler görüntü ( B ) kümesinin alt kümesi oluyorsa f , içine fonksiyondur .
ÖRNEK:
Şemada tanım kümesi A
= { a , b , c } ve görüntü kümesi B = { 1, 2, 3, 4 } dür.
Orijinallerin görüntülerinden oluşan görüntü
kümesi f (A) = { 1, 2 } dir.
{ 1, 2 } C { 1, 2, 3,
4 } olur. f (A) kümesi B ' nin alt
kümesidir. Fonksiyon içinedir.
Sözün özü B kümesi A kümesinin görüntüleri ile örtülmezse fonksiyon içine olur.
Üzgünüm ! Devamı
yakında