Tanım: A boş olmayan bir küme olsun. A X A kümesinden A kümesine tanımlı her fonksiyona, A kümesinde tanımlı ikili işlem ya da A kümesine tanımlı işlem denir.

İşlemi  , ▼, * gibi sembollerle gösteririz.

Örnek; x ve y Reel sayıları için, x*y = x+y+2xy

x*y = x+y+2xy işleminde x = 4 ve y = 2 yazacağız.

Daha önce öğrendiğimiz dört temel işlemi kullanarak birçok yeni işlemler üretebiliriz. Örneğin

x▼y = xy - 2x

x◊y = ( x / y ) + y⁴

Örneğin biliyoruz ki bir futbol takımı galibiyete 3, beraberliğe 1 puan almaktadır. Bir futbol takımının puanını

g▼b = 3g + b işlemiyle bulabiliriz.

8▼5 = 3.8 + 5 = 29 olur.

Sonuç olarak dört işlem yardımıyla tanımladığımız bu yeni işlemler birkaç hesabı içinde barındırır ve kolaylık sağlar. Sözün özü gelişen teknoloji, artan ihtiyaçlar ve çağımızın sürat çağı olması nedeniyle matematik bu ihtiyaçlara cevap verebilecek işlemleri ve enstrümanları geliştirmektedir.

BİR KÜMENİN BİR İŞLEME GÖRE KAPALILIĞI

◊ işlemi boş olmayan bir A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. A ' nın her x ve y elemanı için , x◊y işleminin sonucu daima A kümesinin bir elemanı olursa A kümesi ◊ işlemine göre kapalıdır denir.

Örnek; x ve y iki tamsayıdır. * işlemi x*y = x^x +3y olarak tanımlanıyor. * işlemi tamsayılar kümesinde kapalımıdır?

Çözüm; * işleminin kapalı olması için tam sayılar kümesinden bütün elemanları işleme aldığımızda sonuçların tümü tamsayı olmalıdır.

İşlemi iki parçada düşünelim: x*y = x^x +3y

x^x bir tamsayının kendi kuvvetidir. Örneğin

1¹ , 2² , 3³ , 4⁴ ,... gibi sayıları hesaplarsak sonuçları hep tamsayı çıkar.

3y ifadesi bir tamsayının 3 ile çarpılacağı anlamındadır. Her tamsayının 3 ile çarpımı yine tamsayıdır.

x*y = x^x +3y İşleminin iki parçası da tamsayıdır.

Bu parçaların toplamı yine tamsayı olur. O halde işleme aldığımız tüm tamsayılar sonuç olarak yine tamsayı veriyor.

İşlem tam sayılar kümesinde kapalıdır.

Örnek; xy = xy - 2x işlemi doğal sayılar kümesinde kapalımıdır?

Çözüm;  işleminin kapalı olması için doğal sayılar kümesinden bütün elemanları işleme aldığımızda sonuçların tümü doğal sayı olmalıdır. Oysa ;

x = 5 ve y = 4 alırsak

54 = 5.4 - 2.5 = -10 bulunur.

-10 doğal sayı olmadığından  işlemi doğal sayılar kümesinde kapalı değildir.

1. Karıştırma işlemi renkler kümesinde kapalımıdır?

Çözüm; Renkler kümesinden iki renk alıp karıştıralım, karışım sonucu yine bir renk olur. Karıştırma işlemi renkler kümesinde kapalıdır.

2. Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde kapalımıdır?

Çözüm; Sıvılar kümesinden iki sıvı alıp karıştırdığımızda, karışım sonucu yine bir sıvı olur mu? Bazen olmaz. İki sıvının karışımının katı olduğu da vardır. Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde kapalı değildir.

3. Hayvanlar kümesi Üreme işlemine göre kapalımıdır?

Çözüm; Hayvanlar kümesinin üreme işlemine göre kapalı olması gayet doğaldır. Çünkü üreme sonuçları daima hayvanlar kümesinden bir eleman yani bir hayvan olur, hiçbir zaman iki hayvanın üremesinden farklı bir şey mesela bitki çıkmaz.

A boş olmayan bir küme ve * işlemi A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. A'nın bütün x ve y elemanları için

x*y = y*x oluyorsa yani işlemin sırası değişse de sonuç değişmiyor ise * işlemi A kümesinde değişmelidir denir.

Örnek; x ve y reel sayıdır. x*y = x² - y²

şeklinde tanımlanan * işlemi değişmelimidir?

Çözüm; İşlemde x = 3 ve y = 6 koyalım.

x*y = x² - y² = 3² - 6² =-27

y*x = y² - x² = 6² - 3² = 27

O halde * işlemi değişmeli değildir.

1. Karıştırma işlemi renkler kümesinde değişmelimidir?

Çözüm; Renkler kümesinden iki renk sözgelimi mavi ile sarı alıp karıştıralım, karışım sonucu yeşil olur. Eğer önce sarı sonra mavi alıp karıştırırsak yine yeşil çıkar. Bu hep böyledir. Renkleri karıştırırken sıranın önemi yoktur. Karıştırma işlemi renkler kümesinde değişmelidir.

2. Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde değişmelimidir?

Çözüm; Sıvılar kümesinden iki sıvı alıp karıştırdığımızda, sıranın önemi olmaz. Yani sirke ile limon, limon ile sirkenin aynıdır. Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde değişmelidir.

TANIM; A boş olmayan bir küme  işlemi A’ da tanımlı bir işlem olsun. A kümesinden alınan üç x,y ve z elemanı

Şartını sağlıyorsa  işlemi birleşme özeliğine sahiptir.

Kısaca üç elemanın işleminde işlemin sırası değişebiliyorsa birleşme özeliği vardır.

Örnek; Tamsayılar kümesinde xy = x+4y

Sonuçlar farklı olduğundan işlemin birleşme özeliği yoktur.

TANIM; A boş olmayan bir küme ve ▼ ifadesi A’ da tanımlı bir işlem olsun ve her x elemanı için A kümesinde

özelliğini sağlayan bir tek e elemanı varsa bu elemana ▼ işleminin etkisiz veya birim elemanı denir.

Çözüm; * işleminin etkisiz elemanına e diyelim,

TANIM; A boş olmayan bir küme ve * işlemi A’ da tanımlı bir işlem olsun. Bu işlemin etkisiz elemanı e olsun. A' nın her x elemanı için,

olacak şekilde A kümesinde bir tane x^-1 elemanı varsa x^-1 , x in * işlemine göre tersi (inversi)dir.

Örnek; xΘy = x+y-3 işlemi tanımlanıyor. Bu işleme göre, 4 ‘ün tersi kaçtır?

Çözüm; 4’ ün tersini bulmak için önce Θ işleminin etkisiz elemanını bulmalıyız. İşlemin değişme özeliği varsa sadece xΘe = x şartını yazmak yeterlidir.

xΘe = x+e-3 = x, e = -x+x+3 =3 yani

4Θ4^-1 = 4^-1Θ4 = 3 olacak.

Önce 4^-1Θ4 = 4^-1 + 4 - 3 = 3

4^-1 = 3-1=2

 Sonra 4Θ4^-1 = 4 + 4^-1 - 3 = 3

4^-1= 3-1=2

4 ' ün tersi 4^-1=2 bulunur.

Örnek; Aşağıdaki tabloda verilen @ işleminin özeliklerini araştıralım:

Çözüm;

1. İşlem kapalıdır. Çünkü işlemin sonuçları tanım kümesinin elemanlarıdır. Yani 0, 1, 2, 3 sayılarıdır.
2. İşlemin değişme özeliği vardır. Çünkü tablo esas köşegene göre simetriktir.
3. İşlemin birim elemanı sıralı satır ve sütunun kesiştiği elemandır. Yani burada 1 dir.



4. 2 ve 0 'ın tersi yani 2^-1 ve 0^-1 kaçtır?

• 2 nin tersini bulmak için tabloda 2 nin bulunduğu satırda birim elemanı yani burada 1 ' i ararız. 2 nin satırında 1 yoktur. 2 nin tersi yoktur.
• 0 ın tersini bulmak için tabloda 0 ın bulunduğu satırda birim elemanı yani burada 1 ' i ararız. 0 ın satırında 1 i bulup yukarı çıkarsak tersini buluruz. 0 ın tersi 0 dır.

1. 2@(3@1) = ? işleminin sonucu kaçtır?

Önce parantez içindeki işlemi yapalım: Tablonun satırında önce 3'ü buluruz. Sonra sütunda 1'i buluruz. İkisinin kesiştiği sayı işlemin sonucudur. (3@1) = 3 dür. Şimdi 2@3 işlemini yapalım. Aynı şekilde 2@3 = 0 bulunur. İşlemin sonucu 2@(3@1) = 0 bulunur.

1. x@y = x²y+2y işlemi doğal sayılar kümesinde tanımlanıyor. 2@y = 6 ise y =?

2. a▼b = a / b-4 ve x ¤ y = 3^x + yx işlemleri veriliyor.

3. xΘy = 2xy + x² + y² işleminin birim elemanı varsa kaçtır?

a) * işlemi değişmelimidir?

b) * işlemine göre etkisiz eleman nedir?

5. Reel sayılar kümesinde x&y = 2x+2y+xy şeklinde tanımlanan & işleminde hangi elemanın tersi yoktur?
6. R ‘de tanımlı x*y = 2x-y işlemi için (2*3)*a = 0 ise a kaçtır?
7. R -

xy=-3xy-2x-2y-2 işleminin etkisiz eleman nedir ?

8. xy = x+2xy+y işlemine göre -3 ‘ ün tersi kaçtır?

9. İnsanlar kümesinde konuşma işlemi değişmelimidir?

10. Renkler kümesinde karıştırma işleminin birleşme özeliği varmıdır? Bu işlemin birim elemanı varmıdır?