Make your own free website on Tripod.com

FONKSİYONLAR

 

 

 

1.    A = í 1,2,3,4 ý

 

f : A ® R

 

x Þ y = f(x) = 3 – x fonksiyonu veriliyor. f fonksiyonunu elemanları ile yazınız.

 

 

ÇÖZÜM :

 

         f(x) = 3 – x

         f(1) = 3 – 1 = 2

         f(2) = 3 – 2 = 1

         f(3) = 3 – 3 = 0

         f(4) = 3 – 4 = -1

 

         f = í (1,2), (2,1), (3,0), (4,-1) ý olur.

 

2.    A = í - 3, -1, 0, 2, 3 ý

 

f : A ® R fonksiyonu

 

f = í (-3, 5), (-1, 2), (0, 3), (2, 5), (3 ,- 4) ý olarak veriliyor.

 

f(- 3) + f(0) + f(3) toplamı nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

         f(-3) = 5

         f(0) = 3

         f(3) = - 4 olduğundan

 

         f(-3) + f(0) + f(3) = 5 + 3 – 4 = 4 olur.

 

3.    f : R ® R , f(x) = 2x+3 fonksiyonu veriliyor.

 

f(x+1) / f(x) ifadesinin eşiti nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

f(x) = 2x+3

f(x+1) = 2x+1+3 = 2x+4

 

f(x+1) / f(x) = 2x+4  / 2x+3 = 2x+4-x-3  = 2 bulunur.

 

 

4.    A ve B iki küme olsun. s(A) = 2 , s(B) = 3 ise A’dan B’ye fonksiyon olmayan kaç tane bağıntı vardır?

 

 

ÇÖZÜM :

 

         A’dan B’ye 32 = 9 tane fonksiyon vardır.

         s(AxB) = 2.3 = 6

         A’dan B’ye 26 = 64 tane bağıntı vardır.

         64 – 9 = 55 tane fonksiyon olmayan bağıntı vardır.

 

5.    A = í a, b, c ý

f : A ® A fonksiyonu

 

f : í (a, b), (b, b), (c, c) ý olarak veriliyor. f –1 bağıntısını elemanları ile yazınız.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f –1 = í (b, a ), (b, b), (c, c) ý olur.

 

 

6.    f : R ® R , f(x) = x3 – 4x + 2 olduğuna göre f –1 (2) nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f –1 (2) = x diyelim ve her iki tarafın f ini alalım Þ f(f –1 (2)) = f(x ) ( bir fonksiyon ile tersinin bileşimi x i verir)

                                                                                                2 = f(x)  bulunur.

 

         Þ f(x) = x3 – 4x + 2 = 2

         Þ x3 – 4x = 0

         Þ x(x2 – 4) = 0

         Þ x = 0, x = 2, x = -2

 

         f –1 (2) = í -2, 0, 2 ý bulunur.

 

 

7.    f : R - í -1 ý ® R , f(x) = x2 – 3x + 2 olduğuna göre f -1 (6) nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f-1 (6) = x Þ f(x) = 6

         Þ x2 – 3x +2 = 6

         Þ (x – 4) (x + 1) = 0

         Þ x = 4 , x = -1

 

         x = -1 tanım kümesi elemanı olmadığı için f -1 (6) = 4 olur.

 

8.    f : R ® R , f(x) = 32x+1 + 1 olduğuna göre f -1(28) nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         F -1(28) = x Þ f(x) = 28

 

         Þ 32x+1 + 1 = 28

         Þ 32x+1 = 27 = 33

         Þ 2x + 1 = 3

         Þ x = 1 bulunur.

 

 

9.    A = í 1, 2, 3, 4 ý kümesi veriliyor. A’dan A’ya f = í (1,2), (a, 3), (3, 4), (4, b) ý fonksiyonunun tersinin de bir fonksiyon olması için a + b toplamı kaç olmalıdır?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

f = í (1,2), (a, 3), (3, 4), (4, b) ý fonksiyon olması için a = 2 ve bire – bir örten olması için b = 1 olmalıdır.

         Buna göre a + b = 2 + 1 = 3 bulunur.

 

 

10.          f(x) = ax + 3 , g(x) = 5x + b ve (gof) (x) birim fonksiyon ise ab çarpımı nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (gof) (x) = g(ax + 3)

         = 5(ax + 3) + b

         = 5ax + 15 + b

 

         Þ 5ax + 15 + b = x

         Þ 5a = 1 ve 15 + b = 0

         Þ a = 1 / 5 ve b = - 15

 

         a.b = 1 / 5 . (- 15) = - 3 bulunur.

 

 

 

 

 

 

11.          f(2x + 3) = 3x + 2 olduğuna göre f(0) kaçtır?

 

 

ÇÖZÜM :  f(0) ı bulmak için f(2x + 3) ifadesinde parantez içini sıfır yapmalıyız.

 

 

         2x + 3 = 0 Þ x = - 3 / 2  yazarsak  f(2x + 3 ) ifadesinde parantez içi sıfır olur.

 

         f (0) = 3. (-3 / 2) + 2

         f(0) = (-9 / 2) + 2

         f(0) = - 5 / 2

 

 

12.          f(x) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere  f(5) = 3 ve f(3) = 5 olduğuna göre f(1) değeri kaçtır?

 

 

ÇÖZÜM : Doğrusal bir fonksiyon  f(x) = ax + b şeklindedir.

 

 

         x = 5 için f(5) = 5a + b Þ 3 = 5a + b

         x = 3 için f(3) = 3a + b Þ 5 = 3a + b

 

         2a = -2

         a = -1

         5(-1) + b = 3 Þ b =8

 

         f(x) = -x + 8

         f(1) = -1 + 8 = 7

 

 

13.          f(x) = x2 + 4x + 5 olduğuna göre f(x – 2) nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f(x) = x2 + 4x + 5 = (x+2)2 + 1        

         f(x – 2) = (x –2 + 2)2 + 1 Þ f(x – 2) = x2 + 1 olur.

 

 

14.          f : R ® R+ olmak üzere f(m.n) = f(m) . f(n) olduğuna göre f(1) değeri kaçtır?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f(m.n) = f(m) . f(n) ifadesinde n =1 alınırsa,

         f(m.1) = f(m) . f(1) Þ f(m) = f(m) . f(1)

         f(1) = 1 olur.

 

15.          f(x + 2) + f(x –1) = 3x + 1olduğuna göre f(3) – f(- 3) değeri kaçtır?

 

 

ÇÖZÜM :

 

         f(x + 2) + f(x –1) = 3x + 1

         x = 1 Þ  f(3) + f(0)   = 4

         x = -2 Þ f(0) + f(-3) = -5  Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsakÞ  f(3) + f(-3) = 4 – (-5) = 9 olur.

 

 

16.          f : R ® R olmak üzere f(x + 1) = x. f(x) ve f(2) = 5 olduğuna göre f(4) kaçtır?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f(x + 1) = x . f(x) ve f(2) = 5 veriliyor.

         x = 2 için f(3) = 2 . f(2) Þ = 2 . 5 = 10

x = 3 için f(4) = 3. f(3) = 3 . 10 = 30 olur.

 

 

17.          R de f(x) = x – 2 , g(x) = x2 + 1 fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (f + g) (x) = f(x) + g(x) = x – 2 + x2 + 1

                         = x2 + x - 1

 

18.          R de f(x) = x – 2 , g(x) = x2 + 1 fonksiyonları veriliyor. (f . g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (f . g) (x) = f(x) . g(x)

         = (x – 2) (x2 + 1)

         = x3 – 2x2 + x – 2

        

 

19.          R de f(x) = x – 2 , fonksiyonu veriliyor. f3  (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f3 (x) = (x-2)3

 

20.          R de g(x) = x2 + 1 fonksiyonu veriliyor. (- g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (-g) (x) = - x2 – 1

 

 

21.          R de f(x) = 2x2 + x + 2 ve g(x) = 3 – x fonksiyonları veriliyor. (2f + g) (x) fonksiyonu nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (2f + g) (x) = 2 f(x) + g(x)

         = 2 (2 x2 + x + 2) + (3 – x)

         = 4 x2 + 2x + 4 + 3 – x

         = 4 x2 + x +7

 

22.          3 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı biçimde sonuçlanabilir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

         Sınava katılan kişiler A kümesini ( 3 kişi) ve sınav sonuçları da ( başarılı – başarısız) B kümesini oluştursun. A dan B ye 23 = 8 tane fonksiyon tanımlandığına göre sınav 8 farklı biçimde sonuçlanabilir.

 

 

23.          f(3x+2 + 2x) = x – 3 ise f -1 (x) nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f(3x+2 + 2x) = x – 3 Þ f -1 (x – 3) = 3x+2 + 2x

         Þ f -1 (x) = 3x+3+2 + 2 (x + 3)

         Þ f -1 (x) = 3x+5 + 2x + 6

 

24.          f : R ® R fonksiyonu bire – bir örten fonksiyondur. (fo f -1 ) (3x –2) = 10 ise x nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (fof -1 ) (3x – 2) = I(x) = x olduğundan

         (fof -1 ) (3x – 2) = 10

         Þ 3x –2 = 10

         Þ x = 4 bulunur.

 

25.          A ve B iki küme olsun. s(A) = 5 , s(B) = 2 ise A’dan B’ye fonksiyon olan kaç tane bağıntı vardır?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         52 = 25 adet fonksiyon vardır.

 

 

26.          f(5x + 2) = x + 5 olduğuna göre f(0) kaçtır?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         5x + 2 = 0 Þ x = -2 / 5         

f(0) = (-2 / 5)  + 5

f(0) = - 23 / 25

 

 

27.          f : R+ ® R

f(x) = f(x + 1)  / x ,  f(4) = 12 olduğuna göre f(2) kaçtır?

 

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         x = 3 için f(3) = f(4) / 3 = 12 / 3 = 4

         x = 2 için f(2) = f(3) / 2 = 4 / 2 = 2 olur.

 

 

28.          R de f(x) = 3x + 12 ve g(x) = x + 2  fonksiyonları veriliyor. (3f + g) (x) fonksiyonu nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (3f + g) (x) = 3 f(x) + g(x)

         = 3 (3x + 12) + (x + 2 )

= 9x + 36 + x + 2

= 10x + 38

 

 

29.          f(x) + f(x + 1) = 2x +3 olduğuna göre f(2) – f(0) kaçtır?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         x = 1 için f(1) + f(1 + 1) = 2 . 1 + 3

         f(1) + f(2) = 5

 

         x = 0 için f(0) + f(0 + 1) = 2 . 0 + 3

         f(0) + f(1) = 3

 

         f(1) + f(2) – f(0) – f(1) = 5 – 3

         f(2) – f(0) = 5 – 3 = 2

 

 

30.          f(a . b) = f(a) + f(b) ve f(2) = - 5 olduğuna göre f(16) nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f(a . b) = f(a) + f(b) olduğu için,

         f(16) = f(2 . 2 . 2 . 2) = f(2) + f(2) + f(2) + f(2) = 4 . f(2) = 4.(-5) = -20 olur.

 

 

31.          f: R ® R

f(x + 2) = f(x) + x  ve f(2) = 1 olduğuna göre f(102) değeri kaçtır?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f(x + 2) = f(x) + x Þ f(x + 2) – f(x) = x

         x = 2 için f(4) – f(2) = 2

         x = 4 için f(6) – f(4) = 4

 

         x = 98 için f(100) – f(98) = 98

         x = 100 için f(102) – f(100) = 100

 

         f(102) – f(2) = 50 . 51

         f(102) – 1 = 2550

         f(102) = 2551 olur.

 

 

 

 

 

 

 

32.          f(x) doğrusal fonksiyonu için f-1 (5) = 4  ve f-1 (7) = 3 olduğuna göre f(x) nedir?

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         f(x) = ax + b olsun.

         f-1 (5) = 4 Þ f(4) = 5

         f-1 (7) = 3 Þ f(3) = 7 dir.

         x = 4 için f(4) = 4a + b Þ 5 = 4a + b

         x = 3 için f(3) = 3a + b Þ 7 = 3a + b

 

-         2 = a

a = - 2 için 4(-2) + b = 5 Þ b = 13

a = - 2  ve b = 13 Þ f(x) = -2x + 13 olur.

 

 

33.          R de f(x) = 3x – 5 , g(x) = 2x – 3  fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (f + g) (x) = f(x) + g(x)

         (f + g) (x) = (3x – 5) + (2x – 3)

         (f + g) (x) = 5x – 8

 

 

 

34.          R de f(x) = 4x – 3 , g(x) = x2 + 2 fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (f + g) (x) = f(x) + g(x)

         (f + g) (x) = (4x – 3) + (x2 + 2)

         (f + g) (x) = x2  + 4x – 1

 

 

35.          R de f(x) = x – 2 , g(x) = x2 + 3 fonksiyonları veriliyor. (f . g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (f + g) (x) = f(x) . g(x)

         (f + g) (x) = (x – 2) (x2 + 3)

         (f + g) (x) = x3 – 2 x2 + 3x – 6

 

36.          R de f(x) = 2x + 2 , g(x) = x2 – 1  fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

        

         (f + g) (x) = f(x) + g(x)

         (f + g) (x) = (2x + 2) + (x2 – 1)

         (f + g) (x) = x2 + 2x + 1

 

 

1.    R de f(x) = 3 – x  , g(x) = x2 – 3  fonksiyonları veriliyor. (f . g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (f + g) (x) = f(x) . g(x)

         (f + g) (x) = (3 – x) . (x2 – 3)

         (f + g) (x) = - x3 + 3 x2 + 3x – 9

 

 

2.    R de f(x) = 5 – x  , g(x) = x2 – 4  fonksiyonları veriliyor. (f . g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (f . g) (x) = f(x) . g(x)

         (f . g) (x) = (5 – x) . (x2 – 4)

         (f . g) (x) = - x3 + 5 x2 + 4x – 20

 

 

3.    R de f(x) = 6 – x  , g(x) = x2 – x  fonksiyonları veriliyor. (f . g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (f . g) (x) = f(x) . g(x)

         (f . g) (x) = (6 – x) (x2 – x)

     (f . g) (x) = - x3 + 7 x2 – 6x

 

 

 

 

 

 

 

 

4.    R de f(x) = x + 12   , g(x) = x2 – 2x + 3  fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x) i bulunuz.

 

 

ÇÖZÜM :

 

 

         (f + g) (x) = f(x) + g(x)

         (f + g) (x) = x + 12 + x2 – 2x + 3

         (f + g) (x) = x2 – x + 15