A ve B herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A’ dan, ikinci bileşeni B’ den alınarak oluşturulabilecek tüm sıralı ikililerin kümesine, A ile B’ nin kartezyen çarpımı denir ve A x B biçiminde gösterilir. Buna göre;

Şeklinde gösterilir.

ÇÖZÜM : A kümesi A = { Ali , Sertaç , Tamer }

B kümesi B = { 7 , 10 , 11 }

A X B = { (Ali, 7 ), (Ali, 10), (Ali, 11 ), (Sertaç,7 ), (Sertaç,10 ), (Sertaç,11 ),

(Tamer, 7 ), (Tamer, 10 ), (Tamer, 11 ) }

ÖRNEK : A = {1,2 } , B = {3,a} olduğuna göre A x B ve BxA kümelerini yazınız.

BxA = {(3 ,1), (3,2 ), (a ,1), (a , 2)}

S(A) ; A kümesinin eleman sayısını göstermektedir.

2) A≠B ise AxB ≠ BxA değişme özelliği yoktur.

3) (AxB)xC = Ax(BxC) birleşme özelliği vardır .

5) Ax(B ∩C) = (AxB) ∩ (AxC)

1. A= { 2, 5 } ve AXB = {(2 ,1), (2,2), (2 ,4), (5 , 1), (5 ,2), (5,4) }

olduğuna göre B kümesinin elemanları toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM : Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri B kümesinin elemanlarını verir.

B = { 1, 2, 4 } olur. Toplam : 1 + 2 + 4 = 7 olur.

2. A, B ve C üç kümedir. s(BUC) = 4 ve s[Ax(BUC)] = 32 olduğuna göre A dan A ya kaç tane bağıntı yazılabilir?

ÇÖZÜM : s[Ax(BUC)] = S(A). S(BUC) = S(A). 4 = 32

A dan A ya yazılabilecek bağıntı sayısı 2^8.8 = 2⁶⁴ tanedir.

A ve B herhangi iki küme olsun. AxB ‘ nin her alt kümesine , A’ dan B’ ye bir bağıntı denir.

• AxA ‘ nın her alt kümesine A’ dan A’ ya bağıntı ya da A’ da bir bağıntı denir.
• s (A) = m , s (B) = n ise A’ dan B’ ye 2^m.n tane bağıntı tanımlanır.

ÖRNEK : AxB = {(1,3), (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } kartezyen çarpımının 4 tane elemanı vardır. Bu kümenin alt kümeleri sayısı 2⁴ = 16 ‘dır.

β₁ = {(1,3), (1,a) } ve β₂ = { (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } alt kümeleri A dan B ye birer bağıntıdır.

1. Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x + y = 2 } bağıntısının sıralı ikililerini yazalım.

ÇÖZÜM : Bağıntı (x , y ) şeklinde ve x ile y nin toplamı 2 olan sıralı ikilileri yazın diyor. Bunlar: β = {(0,2), (1,1), (2,0) } olur.

2. Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x > y } bağıntısının sıralı ikililerini yazalım.

ÇÖZÜM : Bağıntı (x , y ) şeklinde ve x in y den büyük olduğu sıralı ikilileri yazın diyor. Bu sıralı ikililerin tümünü yazamayız.

Bu nedenle β = {(1,0), (2,0), (3,0),..., (2,1), (3,1), (4,1),..., } şeklinde bu bağıntının sıralı ikililerini gösterebiliriz.

3. Reel sayılar kümesinde β = { (x,y) | l x l = 3 ve x+2> y > 0 } bağıntısının gösterdiği alan kaç birim karedir?

ÇÖZÜM : l x l = 3 demek x = ± 3 demektir.

x = 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 , yani 5 > y > 0 olur.

x = - 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 , yani -1> y > -3 olur.

   Mercek : Fonksiyonu üzerine getirildiği şekli daha büyütmek.

Saat : Fonksiyonu zamanı göstermek.

Terazi : Cisimlerin ağırlığını tartmak.

şeklinde gösterilir.

A kümesine tanım kümesi,

B kümesine görüntü kümesi denir.

Tanım kümesinin elemanlarına orijinaller,

görüntü kümesinin elemanlarına görüntüler denir.

ÖRNEK : Aşağıdaki bağıntılardan hangileri A= { 1, 2 , 3 } kümesinden

B = { a, b , c , d } ye fonksiyondur?

1. Β₁ = {(1, b), (2, a) }
2. Β₂ = {(3,b), (1,c), (2,b) }
3. Β₃ = {(1,a), (2,a), (3,a) }
4. Β₄ = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }

1. Β₁ = {(1, b), (2, a) }

A kümesindeki 3' orjinalinin B içinde bir görüntüsü yoktur.

Β₁ fonksiyon değildir.

2. Β₂ = { (3, b), (1,c), (2,b) }

A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır.

Β₂ fonksiyondur.

3. Β₃ = {(1,a), (2,a), (3,a) }

A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır.

Β₃ fonksiyondur. Görüntüler eşit olabilir.

4. Β₄ = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }

Β₄ fonksiyon değildir.

ÖRNEK : Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir.

1. İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı kendi mesleği ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her insanın en fazla bir ve en az bir tane mesleği olmalıdır. Oysa gerçekte bazı insanların iki mesleği olduğu gibi bazı insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı fonksiyon değildir.

2. Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı kendi yuvasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her hayvanın en fazla ve en az bir tane yuvası olmalıdır. Oysa gerçekte bazı hayvanların yuvalarının olmadığını biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.

ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her çocuğun en fazla ve en az bir tane babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun mutlaka bir babası mevcuttur ve bir çocuğun iki babasının olması biyolojik olarak mümkün değildir. Bu bağıntı fonksiyondur.

UNUTMA : Birkaç çocuğun aynı babaya sahip olması fonksiyon olmayı bozmaz.

ÇÖZÜM : Bu bağıntı da fonksiyondur. Çünkü bedavaya çalışan olmayacağı için her işçinin bir ücreti mutlaka vardır. Hiçbir patron bir işçiye iki ücret vermeyeceğine göre her işçinin en fazla bir tane ücreti vardır. O halde bu bağıntı fonksiyondur.

Fonksiyonlar genellikle yapılan eşlemeyi ifade eden kurallarla verilir.

ÖRNEK : f : A = {1, 2, 3 } B

f = { (1,5), (2,7), (1,c) , (3,9) } şeklinde gösterilir.

ÖRNEK : f = { (-4,3), (0,2), (1,5) , (2,-1), (-3,9), (3,2), (-2,-1) } fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki soruları çözelim:

1. Tanım kümesi nedir?
2. Görüntü kümesi nedir?
3. f(2) = ?
4. f(-3) = ?
5. f(5) = ?

ÇÖZÜM :

1. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin elemanlarını verir.

A = { - 4, -3 , -2 , 0 , 1 , 2 , 3 }

2. Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri görüntü kümesinin elemanlarını verir.

3. f(2) = ? sorusu " 2 ' nin görüntüsü kaç demektir"

4. f(-3) = ? sorusu " -3 ' ün görüntüsü kaç demektir"

5. f(5) = ? sorusu " 5 ' in görüntüsü kaç demektir"

f : A B fonksiyonunda bütün orijinaller aynı görüntüye sahip ise f ye sabit fonksiyon denir ve her x є A iзin f (x) = b юeklinde gösterilir.

fonksiyonu sabit fonksiyondur. Çünkü f(2) = f(5) = f (7) = 6 ‘ dır .

ÖRNEK : Her işçisine aynı ücreti veren bir patronun işçileri ile aldıkları ücretleri eşleştiren fonksiyon sabit fonksiyondur.

f(x) = x ise f fonksiyonuna birim fonksiyon denir .

Birim fonksiyon genellikle I (x) ile gösterilir .

Aşağıda A = { a,b ,c } kümesinde şema ile tanımlanan I : A A

Çünkü : I(x) = x olur. I (a) = a , I (b) = b , I (c) = c dir .

 ÖRNEK : Bir kameranın fonksiyonu görüntü almaktır. Kamera ile bir maçı çekersek sonradan seyrettiğimizde kameranın her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirdiğini görürüz. Yani hiçbir zaman Ahmet in görüntüsü Mehmet olmaz. Kamera her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirir. Kameranın fonksiyonu sabit fonksiyondur.

 İÇİNE FONKSİYON

f (A) kümesi B ' nin alt kümesidir. Fonksiyon içinedir.

Sözün özü B kümesi A kümesinin görüntüleri ile örtülmezse fonksiyon içine olur.